考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产品, 它们常常是被包装在各种大小的包装袋里,注 意到包装比较大的按每克计算的价格较低. 人们通常认为这是由于节省了包装和经莒的成 本的缘故. 或许有人会问, 这是主要原因吗? 是否还有其他重要因素? 能否构造一个简㳾模 型来分析? 我们研究的是产品成本如何随包装大小而变化的规律.
在产品销售过程中, 有批发价和零售价等不同的价格, 它反映了在不同阶段的销售价格. 从研究批发价格人手, 即零售商对该产品所偿付的价格. 计人批发价格的主要成本是: 生 产该产品的成本 $a$, 包装该产品的成本 $b$, 运输该产品的成本 $c$ 和包装材料的成本 $d$. 产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变化, 在这里研究的是销售过程中的珇略 规律,因此忽略这些因素,集中考虑在原料和买卖过程的费用上. 设该产品成本 $a$ 与所生产的货物量成正比, 记为 $a \propto w$, 其中 $w$ 为产品质量. 包装成本取决于装包、封包及装箱备运所需要的时间. 装包时间大致与体积(因而与质 量) 成比例, 而对于体积在一定范围内的包装, 后两部分时间相差不大. 于是对于某些正的 常数 $f$ 和 $g, b \approx f w+g$.
运费可能同时取决于质量和体积, 因为体积与装满的包的质量成比例, 所以 $c \propto w$. 包装用材料的成本较为复杂, 它取决于包装生产者必须偿付的各种成本, 即必须考虑对 于包装品生产者来说的 $a, b, c$ 和 $d$. 设对那些盛装制造最后包装品的原料的容器, 其成本忽 略不计,则每件包装的成本取决于它的质量和体积. 若所考虑包装的变动范围不太大, 可认 为各种体积的包装所用的包装材料相同. 因此每件包装所消耗材料量 (因而也是每件包装 的质量) 与所覆盖的表面积成正比. 每件包装品的体积与包装品的表面积或全积成正比,它 取决于推平后运输 (像纸板之类) 还是成型后运输 (像玻璃器皿之类). 所以打包者的成本为
$$
d=h w+k S+m
$$
其中 $h \geqslant 0, k>0, m>0$ 均为常数, $S$ 是表面积.
现在将此比例法中涉及的自变量化为一个自变量 -一质量. 假设各种包装品在几何形 状上是大致相似的, 体积几乎与线性尺度的立方成正比, 表面积几乎与线性尺度的平方成正 比, 即 $V \propto l^3, S \propto l^2$, 所以 $S \propto l^2$. 由于 $V \propto w$, 则有 $S \propto w^{\frac{2}{3}}$. 于是, 每克的批发成本是
$$
\frac{\text { 成本 }}{w}=\frac{a+b+c+d}{w}=n+p w^{-\frac{1}{3}}+\frac{q}{w}
$$
其中 $n, p, q$ 为正数. 由此看出, 当包装增大时, 即每包内产品的质量 $w$ 增大时, 每克的成本下降.
进一步的分析可以看到, 每克产品的成本下降速度(对 $\frac{\text { 成本 }}{w}$ 求 $w$ 的导数) $$ r=-\frac{d\left(\frac{\text { 成本 }}{w}\right)}{d w}=\frac{p}{3 w^{\frac{4}{3}}}+\frac{q}{w^2} $$ 这是 $w$ 的减函数, 因此, 当包装比较大时,每克的节省率增加得比较慢, 总节省率为 $$ r w=\frac{1}{3} p w^{-\frac{1}{3}}+q w^{-1} $$ 也是 $w$ 的减函数, 其直观解释是: 购买预先包装好的产品时, 把小型包装的包装规格 (体积) 增大一倍, 每克所节省的钱, 倾向于比大型的包装规格增大一倍所节省的钱多. 这里说“倾 向于” 是因为模型是粗糙的, 然而在定性预测中往往很可靠, 而验证上述解释也是很容易 的, 只须计算 $\left.\frac{\text { 成本 }}{w}\right|_{w_1}-\left.\frac{\text { 成本 }}{w}\right|_{w_2}$ 的值,其中 $w_2=2 w_1$.
此模型可推广于零售价格, 零售成本取决于批发价、销售成本和仓库成本, 后两种成本 具有 $H W+M$ 的形式,因此上述结论也适用于零售价格.
针对不同的物品, 我们可以用实际数据去验证, 来修改模型, 可使得模型更加精确.
摘自